近日，我校力学技术研究院孙博华教授在变分原理方面取得重要进展。研究成果“On Chien’s question to the Hu-Washizu three-field functional and variational principle（关于钱伟长对胡海昌-鹫津久一朗三场泛函和变分原理的质疑）”在力学、应用数学领域国际权威期刊Applied Mathematics and Mechanics-English Edition（应用数学与力学， SCI一区TOP期刊）发表。孙博华教授为该论文的唯一作者，西安建筑科技大学为该成果的唯一完成单位。

钱伟长先生在使用拉格朗日乘子方法构造弹性力学的三场泛函时，发现在解除本构关系这个约束时，出现拉格朗日乘子为零的现象，据此，钱伟长先生认为Hu-Washizu泛函不是三场泛函只是二场泛函、Hu-Washizu变分原理不是三场变分原理而是二场变分原理。钱伟长先生的质疑自1983年提出至今已近40年，仍然没有明确的解答。为此，西安建筑科技大学的孙博华教授对此问题进行了有益的探索。对于弹性力学问题，其需要考虑平衡方程，变形关系和本构关系，经典的变分法是使用以位移为基本场的最小势能原理或者以应力为基本场的最小余能原理推导平衡方程，而认为变形关系和本构关系都是自然成立的。1954年中国学者胡海昌提出了三场（位移、应力、应变）泛函和变分原理并用中文和英文分别发表在《物理学报》和《中国科学》（英文）。日本学者鹫津久一朗（K. Washizu）于1955年在MIT的研究报告中也报道了他提出的三场（位移、应力、应变）泛函和变分原理。由于当时交流不便，国际上认为胡海昌和鹫津久一朗（K. Washizu）是独立提出三场泛函和变分原理，所以文献上通常称为胡海昌和鹫津久一朗（简称Hu-Washizu）变分原理。胡海昌提出的三场变分原理被认为是至今为止中国力学在基础理论方面最重要的工作和中国对世界力学的主要贡献之一。可是，曾指导了胡海昌先生几十篇论文的著名科学家钱伟长先生，于1983年在Applied Math. And Mech.,4(2) 143-157(1983) 发表一篇论文，质疑胡海昌提出的三场泛函不是三场（位移、应变、应力）而只是二场（位移、应变）的，并证明了本构关系（即应力应变关系）是个无法解除的约束，因为其对应的拉格朗日乘子为零；钱伟长先生还于1985年出版专著《广义变分原理》全面系统的阐述了其观点。从1983钱伟长先生提出质疑至今已经近40年，问题还没有合理的解答。怎么办？

孙博华教授注意到，导致拉格朗日乘子为零是使用拉格朗日乘子来构造广义泛函时出现的，而胡海昌的广义泛函是直接给出的，没有构造过程，但胡海昌的广义泛函的一次变分的确可以导出弹性力学的三大基本关系即平衡方程、应变位移关系和应力应变关系。这样就产生了钱伟长质疑与Hu-Washizu变分原理的矛盾，即为什么拉格朗日乘子为零？为什么Hu-Washizu变分原理仍然是三场的变分原理？孙博华教授注意到以上问题的核心就是对本构关系的理解和推导问题，为了解决这个问题，仅仅在变分方法范畴内使用标准的拉格朗日乘子方法是不能给出根本性解答的。为此，必须跳出通常的变分框架，上升到连续统不可逆热力学的高度，因为本构关系本质上是连续统热力学的自然结果。从仔细观察连续统不可逆热力学导出本构关系的过程中去发现有关的信息。经过重新推导发现，连续统不可逆热力学的 Clausius-Duhem 不等式可以说就是本构关系的一种隐性表示。具有Clausius-Duhem 不等式中某种结构的泛函就意味着可以导出本构关系，因为本构关系就是这样被从Clausius-Duhem 不等式推导出来的。如果一个泛函包涵这种结构，就可以说已经隐含了本构关系，所以使用拉格朗日乘子方法解除本构关系的时候必然导致拉格朗日乘子为零。按照这个理解发现Hu-Washizu泛函刚好具有这样的结构，所以其一阶变分为零就可以导出本构关系。再加上Hu-Washizu泛函可以推导出平衡方程和应变位移关系，这样加起来就可以导出全部的弹性力学方程了。从这个意义上说，Hu-Washizu泛函是三场泛函，对应的变分是三场变分原理。特别是，钱伟长先生还为此提出了一种更一般的泛函，这个泛函刚好也有Clausius-Duhem 不等式中某种结构，所以也是三场泛函，其对应的变分原理也是三场变分原理。由于钱伟长的广义泛函含有一个任意的标量，调节其值可以推导出无穷多种泛函，Hu-Washizu泛函只是其特例之一，所以钱伟长先生提出的高阶变分原理是三场变分原理并且是更一般的三场变分原理。

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